تاریخچه ریاضی در قرن 17

تاريخچه ي رياضي در قرن 17

اين قرن يكي از مهمترين قرنها در تاريخ رياضيات است زيرا اساساْ دامنه تحقيقات گسترده در رياضي، در همين قرن بر بشر گشوده شد، شايد به دليل آزاديهاي فكري بيشتر، پيشرفتهاي سياسي، اقتصادي و اجتماعي و در نتيجه رفاه بيشتر زندگي-به ويژه در مقابل سرما و تاريكي شمال اروپا.

پيشرفت علم رياضي در اين قرن آنقدر وسيع و گوناگون است كه حتي نوشتن خلاصه اي از آن نيز مثنوي هفتاد من كاغذ خواهد شد. به ناچار بايد به گزينش بعضي از كارهاي اصيلتر و مهم تر در تاريخ رياضي اين قرن تن داد. از مهمترين اكتشافات - و شايد هم اختراعات - رياضي در اين قرن مي توان به مطالب زير اشاره كرد:

الف) كشف لگاريتم

ب) تدوين علامات و نمادگذاريهاي كنوني جبري

ج) گشوده شدن پهنه جديدي در هندسه محض به ويژه هندسه تصويري

د) آغاز اتصال جبر و هندسه با كشف هندسه تحليلي

ه) پيشرفتي شگرف در نظريه اعداد و نيز تولد نظريه احتمال

و) كشف يكي از بزرگترين دستاوردهاي بشر يعني حساب ديفرانسيل و انتگرال

شايد بهترين راه براي بررسي تاريخ رياضي اين قرن، شرح مختصري از زندگاني رياضيدانان برجسته قرن هفدهم باشد.

رياضيدانان برجسته قرن هفدهم:

1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چيره دست كرد: نماد گذاري هندي-عربي، چگونگي محاسبه مربوط به كسرها، لگاريتم و رايانه ها. «جان نپر» سومين اختراع را به نام خود ثبت كرد. او به طرز عجيبي، هم سياسي و هم مذهبي بود و نبوغ او در پيشگويي وسايل جنگي چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعريف لگاريتم به وسيله نپر، بيشتر فيزيكي است تا رياضي. بد نيست بدانيم كه پايه لگاريتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نيست بلكه معكوس e است كه البته خود او چيزي در اين زمينه نمي دانست. تذكر اين نكته لازم است كه در تكميل مفهوم لگاريتم و جداول مربوط به آن، «هنري بريگز» كه يكي از دوستان نپر بود، سهم بسزايي دارد و لگاريتم معمولي در پايه ۱۰ را معمولاْ «لگاريتم بريگزي» مي نامند. لگاريتم به معناي «عدد نسبت» است كه البته اين مفهوم، همان طور كه ذكر شد بر اساس تابع تواني -كه هم اكنون تدريس مي شود- به وجود نيامد و يكي از امور خلاف قاعده در تاريخ رياضيات، كشف لگاريتم، پيش از به كار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم ديگر نيز در تاريخ رياضي، به نام جان نپر به ثبت رسيده است. (مراجعه كنيد به صفحه ۴ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز.)

2. پاسكال: اين نابغه فرانسوي، يكي از بنيانگذاران هندسه محض و پيشرفته و نيز نظريه احتمال است. خواص اصلي اشكال معروف هندسي را در كودكي، بدون معلم و فقط با تلاشهاي خودش به دست آورد. در شانزده سالگي مقاله اي درباره مقاطع مخروطي نوشت و در هجده يا نوزده سالگي، اولين ماشين حساب مكانيكي را اختراع كرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگي، به دليل افراط و تفريطهاي مذهبي، جسم ضعيف خود را بارها و بارها آزرد و چندين بار از رياضيات دست كشيد و دوباره به آن بازگشت. پاسكال را به عنوان يكي از بزرگترين «چه ها كه مي شد!!» در تاريخ رياضيات شمرده اند. بعضي از كارهاي او عبارتند از:

- تاليف مقاله مهمي درباره خواص اصلي مثلث خيام-پاسكال كه در آن به طور جالبي از قديمي
ترين احكام قابل قبول استقراي رياضي استفاده شده است.

- كشف و اثبات قضيه مشهور «هگزاگرام رمزي» كه درباره يك ۶ ضلعي محاط در يك مقطع
مخروطي است.

- پي ريزي علم احتمال به همراه «فرما» (رياضيدان بزرگ فرانسوي). اين علم به وسيله مكاتباتي
بين پاسكال و فرما در تلاش براي حل «مساله امتيازها» در يك بازي شانسي به وجود آمد.

- اثري درباره منحني سيكلوئيد. اين منحني توسط نقطه اي واقع بر محيط يك دايره، هنگامي كه
دايره در امتداد خط مستقيمي بدون اصطكاك مي غلطد، رسم مي شود. اين منحني دهها
خواص جالب و بسيار زيبا دارد و اختلافات بسياري بين رياضيدانان ايجاد كرد به طوري كه به آن
«سيب نفاق» گفتند (اين نام بر اساس يك افسانه يوناني انتخاب شده است، براي مطالعه آن
به پاورقي صفحه ۲۷ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز مراجعه فرماييد). جالب است
كه از دوران اين منحني حول محور طولها، چيزي شبيه به سيب ايجاد مي شود. 

3. دكارت: دكارت را معمولاْ مبدع هندسه تحليلي مي دانند كه از روشهاي جبري براي حل مسائل هندسي استفاده مي كرد. اين كار كمك بسياري در ساده سازي مفاهيم هندسي و حل مطالب غامض و پيچيده آن كرد. او همچنين به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زيبايي را به نام «قاعده علامات دكارت» براي تعيين تعداد ريشه هاي مثبت و منفي يك چند جمله اي به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۷۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). او براي اولين بار از روش ضرايب نامعين استفاده كرد كه همان متحد قرار دادن دو چند جمله اي هم درجه براي به دست آوردن ضرايب نامعين است. البته دكارت در جهان بيرون از رياضيات، فيلسوف بسيار مشهوري است و مطالب بسياري را به جهان فلسفه تقديم كرده است كه البته بعضي از آنها كاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهاي جالبي درباره چگونگي كشف هندسه تحليلي به او نسبت مي دهند كه ارزش آموزشي زيادي دارد (مراجعه كنيد به صفحه ۵۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه مي دانند. او حقوقدان بود و شغل رسميش وكالت بود، اما قسمت مهمي از ساعات فراغت خود را وقف رياضيات مي كرد. او در بسياري از شاخه هاي رياضيات كارهاي مهم و اساسي انجام داده است كه مهمترين اين كارها عبارتند از:

- تحقيقات اساسي پيرامون هندسه تحليلي. فرما را بايد در كنار دكارت يكي از موسسان
هندسه تحليلي ناميد. معمولاْ گفته مي شود كه كارهاي فرما عكس كارهاي دكارت بوده است.
دكارت از مكان هندسي شروع مي كرد و به معادله آن مي رسيد، اما فرما از معادله شروع و
سپس مكان هندسي آن را مطالعه مي كرده است.

- تاسيس نظريه نوين اعداد. فرما شهود و توانايي خارق العاده اي در نظريه اعداد داشت. قضاياي
بسياري را در اين زمينه با اثبات يا بدون اثبات بيان كرد كه بعدها درست بودن اغلب قضاياي ثابت
نشده او به ثبوت رسيد(مراجعه كنيد به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د.
ايوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرين دهه قرن بيستم به اثبات رسيد! 

- فرما به همراه پاسكال اساس علم احتمال را پي ريزي كرد.

- فرما در حساب ديفرانسيل نيز كارهاي اساسي كرد. او ظاهراْ اولين كسي بود كه از طريق
معادله f'(x)=0 نقاط ماكزيمم و مي نيمم يك تابع را به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳
جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). همچنين او يك روش كلي براي يافتن مماس بر
نقطه اي از يك منحني كه مختصات دكارتي آن معلوم باشد، ابداع كرد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳
جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). 

5. رياضيدانان معروف قرن ۱۷ كه قبل و يا همزمان با نيوتن مي زيستند و در شكل گيري و پيشرفت
حساب ديفرانسيل و انتگرال نقش بسزايي داشتند: (۱) سيمون استوين (۲) لوكا والريو (اين دو همان روشي را به كار بردند كه ما براي پيدا كردن حجم يك جسم در حساب انتگرال به كار مي بريم.) (۳) كاواليري (۴) فرما (۵) جان واليس (نماد معروف بي نهايت را نيز به او مديونيم.) (۶) آيزاك برو (كه احتمالاْ قضيه اساسي حسابان را اولين بار او ثابت كرد.) 

6. نيوتن: صحبت كردن پيرامون نيوتن و كارهاي او ساده نيست. رياضيدان و فيزيكداني كه به گفته لاگرانژ بزرگترين نابغه اي است كه در جهان زيسته است. همچنين «لايبنيتز» رقيب سرسخت او در ستايشي بزرگ منشانه، نيمي از كارهاي انجام شده رياضي بشر تا عهد نيوتن را متعلق به نيوتن مي داند. انساني كه در ۲۳ سالگي به درجه اي رسيد كه مي توانست مماس و شعاع انحنا در يك نقطه از منحني را پيدا كند. روشي كه امروزه تحت عنوان حساب ديفرانسيل شناخته مي شود. در ۲۷ سالگي به استادي دانشگاه برگزيده شد و حدود ۶۵ سال در رياضيات و فيزيك كار كرد. پاپ دستاوردهاي نيوتن را بدين صورت بيان كرده است: «طبيعت و قوانين طبيعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باري فرمود نيوتن به وجود آيد و همه چيز روشن شد.» البته نيوتن نيز خاضعانه در مقابل ستايشها مي گفت كه من همچون كودكي در حال بازي در كنار دريا هستم كه گاهي صدفهاي زيبايي توجهم را جلب مي كند اما اقيانوسي از حقايق كشف ناشده در مقابلم قرار دارد. يكبار هم گفت كه اگر افق ديد او گسترده تر از ديگران است بدين علت است كه بر دوش غولان ايستاده است و شايد منظور او از غولان، ارشميدس و امثال او باشند. كارهاي رياضي او به طور خلاصه به شرح زير است:

- تاليف كتاب« اصول رياضي فلسفه طبيعي» كه با اصرار «هالي» ستاره شناس معروف و با هزينه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. اين كتاب به مطالعه دستگاه ديناميكي پديده هاي زميني و سماوي مي پردازد و يك صورت بندي رياضي از اين پديده هاست. اين كتاب پرنفوذ ترين اثر در تاريخ علم به حساب مي آيد و تاثير بسياري بر دنياي جديد داشت. تاريخ رياضيات ابتدايي اساساْ با آن پايان مي يابد.

- بسط روش بي نهايت كوچكها يا همان حساب ديفرانسيل و نيز روشهاي مربوط به سريهاي نامتناهي 

- بسط روشهاي مربوط به ماكزيمم و مي نيمم توابع، مماس بر منحني ها، انحناي منحني ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحني ها، محاسبه مساحتهاي زير منحني ها و طول قوس آنها

- ارائه روشي براي تقريب زدن مقادير ريشه هاي حقيقي يك معادله جبري يا غير جبري و نيز روشهاي زيبايي براي مطالعه منحني هاي درجه سوم 

7. لايبنيتز: اين نابغه جامع رياضيات، فلسفه، الاهيات و حقوق، رقيب جدي نيوتن در ابداع حسابان بود. عقيده رايج امروز اين است كه نيوتن و لايبنيتز، حسابان را مستقل از يكديگر كشف كردند، اما لايبنيتز نتايج را زودتر انتشار داد، هر چند كه كشف نيوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباري بين اين دو بر سر تقدم در كشف حسابان در گرفت و هر كدام خود را موسس حساب ديفرانسيل و انتگرال مي دانست. هر دو نيز در اين مناقشه زيان ديدند، به ويژه نيوتن و رياضيدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذكر شود كه لايبنيتز را بزرگترين نابغه جامع قرن هفدهم مي نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاريخ رياضيات است كه هم در رياضيات پيوسته و هم در رياضيات گسسته داراي انديشه اي عالي بوده است. بد نيست بدانيم كه لايبنيتز در واقع يك سياستمدار و يك ديپلمات بود كه براي انجام كارهاي سياسي به كشورهاي ديگر سفر مي كرد. كارهاي او در رياضيات به طور خلاصه عبارتند از:

- ارائه قسمت مهمي از نمادهاي كنوني ما در حساب ديفرانسيل و انتگرال از قبيل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال كه از S كشيده Summa -يك كلمه لاتين به معناي مجموع- اقتباس شده است. هم اكنون از نمادهاي نيوتن آنچنان استفاده نمي شود.

- استخراج بسياري از قواعد مقدماتي مشتق گيري كه معمولاْ در ابتداي درس مشتق در سطوح مختلف دبيرستاني و دانشگاهي آموزش داده ميشود. قاعده يافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لايبنيتز مي ناميم (مراجعه كنيد به صفحه ۱۱۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

- تلاش براي پايه گذاري نظريه پوشها و تعريف دايره بوسان براي اولين بار

- ارائه اولين ايده ها در منطق رياضي و نظريه مجموعه ها. او مجموعه تهي و احتواي مجموعه ها را نيز مطالعه كرده است و متوجه شباهتهاي نظريه مجموعه ها و منطق رياضي شده است (به طور مثال شباهت قوانين دمرگان در نظريه مجموعه ها و منطق).

- لايبنيتز احتمالا جزو اولين رياضيداناني است كه نظريه قدرتمند دترمينانها را براي حل دستگاه معادلات خطي پديد آورده اند.